上班试用第一天是否就应该签订劳动合同了？

上班试用第一天是否就应该签订劳动合同了？如果不签，口头约定试用期一个月，没有双方的.书面约定，过完试用期没几天员工就辞职了，也没有转正的任何书面审批，过完试用期的几天如果公司以不符合转正条件是否合适？如果员工以不签劳动合同投诉，劳动稽查部门会怎么处理?